二次函数的定义和性质是什么？
答：二次函数是一种常见的函数，其定义和性质如下：
1、定义：
二次函数是指函数的最高次数为2的多项式函数，通常可以表示为以下形式：
\[ f(x) = ax^2 + bx + c \]
其中，\( a \)、\( b \) 和 \( c \) 是常数，且 \( a \neq 0 \)。如果 \( a = 0 \)，则函数退化为一次函数。
2、性质：
1. 图像形状：
- 二次函数的图像是一个抛物线。
- 如果 \( a > 0 \)，抛物线开口向上。
- 如果 \( a < 0 \)，抛物线开口向下。
2. 对称性：
- 二次函数的图像关于一条垂直线对称，这条线称为对称轴。
- 对称轴的方程是 \( x = -\frac{b}{2a} \)。
3. 顶点：
- 抛物线的顶点是对称轴上的点，该点是抛物线的最高点或最低点。
- 顶点的坐标是 \( \left(-\frac{b}{2a}, f\left(-\frac{b}{2a}\right)\right) \)。
4. 零点（根）：
- 二次函数可能有两个零点（实数根），一个零点（重根），或者没有零点（复数根），这取决于判别式 \( \Delta = b^2 - 4ac \)。
- 如果 \( \Delta > 0 \)，函数有两个不同的实数零点。
- 如果 \( \Delta = 0 \)，函数有一个重根。
- 如果 \( \Delta < 0 \)，函数没有实数零点。
5. 极值：
- 在顶点处，二次函数达到其最大值或最小值。
- 如果 \( a > 0 \)，顶点是抛物线的最小值点。
- 如果 \( a < 0 \)，顶点是抛物线的最大值点。
6. 单调性：
- 当 \( x \) 从负无穷增加到顶点的 \( x \) 坐标时，如果 \( a > 0 \)，函数是递减的；如果 \( a < 0 \)，函数是递增的。
- 当 \( x \) 从顶点的 \( x \) 坐标增加到正无穷时，情况相反。
7. 变换：
- 二次函数可以通过平移、缩放和反射等变换来得到其他二次函数。
- 平移变换：\( f(x) = a(x - h)^2 + k \)，其中 \( (h, k) \) 是顶点的坐标。
- 缩放变换：改变 \( a \) 的值可以垂直拉伸或压缩抛物线。
- 反射变换：改变 \( a \) 的符号可以改变抛物线的开口方向。
这些性质是分析和解决二次函数相关问题的基本工具。